优化:梯度下降法、牛顿法、共轭梯度法

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前面提到的梯度下降法,主要利用的是目标函数的局部性质,具有一定的“盲目性”。 

牛顿法则是利用局部的一阶和二阶偏导信息,去推测整个目标函数的型态,进而还可以 还可以 求得近似函数的全局最小值,日后将当前的最小值设定为近似函数的最小值。也日后我说,牛顿法在二阶导数的作用下,从函数的凸性出发,直接搜索怎样才能到达极值点,即在选者方向时,不仅考虑当前坡度是算不算够大,时会考虑走了一步日后,坡度是算不算会变得更大。 

相比最速下降法,牛顿法富含一定对全局的预测性,收敛性质也更优良。当然将会牛顿法是二阶收敛的,比梯度下降法收敛的更慢。

前面讲的有的是从n维空间到一维空间的映射函数,对于从n维欧式空间变换到m维欧式空间的函数f,还可以 还上可以 表示成由m个实函数组成y=f(x)=[y1(x1,…xn),…ym(x1,…,xn)]T。对于函数f,将会其偏导数都占据 ,还可以 还可以 组成一个多 m行n列的矩阵,即所谓的Jacobi矩阵: 

共轭梯度法中的核心迭代过程还可以 还可以 采取不同的方案,四种 是直接延续,即一一个多劲用d^(k+1)=-g(k+1)+beta_k*d^(k)构造搜索方向;四种 是把n步作为一轮,每搜索一轮日后,取一次最速下降方向,开始了了下一轮,此种策略称为“重置”。 

下面大伙儿介绍四种 传统的共轭梯度法

将会目标函数是一个多 凸优化问題,还可以 还可以 梯度下降法获得的局部最优解日后我全局最优解,理想的优化效果如下图,值得注意日后 的是,每一次迭代的移动方向都与出发点的等高线垂直: 



将会考虑z=f(x,y)描绘的是一座在点(x,y)的深度为f(x,y)的山。还可以 还可以 ,某日后 的梯度方向是在该点坡度最陡的方向,而梯度的大小我想知道们坡度到底有多陡。

其中,pk是第k次迭代时选者的移动方向,在梯度下降法中,移动的方向设定为梯度的负方向。 

ak是第k次迭代是移动的步长,每次移动的步长还可以 还可以 固定还可以 还上可以 改变。在数学上,步长还可以 还可以 通过line search令导数为零找到该方向上的最小值,日后在实际编程时,一个多计算的代价还可以 还可以 来太大,大伙儿一般还可以 还可以 将它设定位一个多 常量。

负梯度方向为最速下降方向

此椭球面的型态受 Hesse 矩阵的条件数影响,长轴与短轴对应矩阵的最小型态值和最大型态值的方向,其大小与型态值的平方根成反比,最大型态值与最小型态值相差越大,椭球面越扁。

共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降法相结合,利用已知点处的梯度构造一组共轭方向,并沿这组方向进行搜索,求出目标函数的极小点。根据共轭方向的基本性质,四种 法律法律依据具有二次终止性。

大伙儿给出阻尼牛顿法的计算步骤,虽然阻尼牛顿法相较原始牛顿法日后我增加了沿牛顿方向的一维搜索: 

对于富含n个变量的标量函数,其梯度表示为 

当A为单位阵时,四种 个多 方向关于A共轭将等价于一个多 方向正交,可见共轭是正交概念的推广。

显然这里x是自变量,x^(k)是常量,求解近似函数phi(x)的极值,即令其倒数为0,很容易得到 

矩阵的条件数:矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖,是用来判断矩阵病态是算不算的四种 度量,条件数越大矩阵越病态。

大伙儿在来看共轭方向的几何意义。 

前面提到过二次函数 

 

的等值面f(x,y)=c是一个多 以x-为中心的椭球面。设x^(1)为此椭球面边缘的日后 ,则x^(1)处的法向量为 

 

将其中上方一项记作 

 

即由x(1)指向椭圆面中心x-的向量。 

下面,设d^(1)为此椭球面在x(1)处的切向量,将会切向量d^(1)与法向量delta f(x(1))正交,即 

即利用一阶的梯度信息找到函数局部最优解的四种 法律法律依据。核心迭代公式为 

日后,梯度下降法计算步骤还可以 还可以 概括为 

函数逼近法包括牛顿法、割线法、抛物线法、三次插值法、有理插值法等。

在牛顿法中应用广泛,定义为 

注意,上述算法中均假设采用的精确一维搜索,但实际计算中,精确一维搜索会带来一定困难,代价较大,通常还是采用不精确的一维搜索。但此时(4)中构造的搜索方向将会有的是的是下降方向了,处置四种 问題一个多 法律法律依据。 

其一,当d^(k+1)有的是下降方向时,以最速下降方向重新开始了了。事实上,这也占据 问題,但一维搜索比较粗糙时,一个多重新开始了了将会是小量的,会降低计算传输强度。 

其二,在计算过程中增加附加的检验,具体细节还可以 还可以 参考陈宝林老师的“最优化理论与法律法律依据”的P5001。

一维搜索法律法律依据还可以 还可以 来太大还可以 还可以 来太大还可以 还可以 来太大还可以 还可以 来太大有,大致还可以 还可以 分为试探法和函数逼近法(插值法)。当然,这四种 法律法律依据有的是求得即小的的近似值。

日后,极小化上述二次函数,若依次沿着d^(1)和d^(2)进行一维搜索,则经过两次迭代必达到极小点。

先给出共轭方向的定义: 





函数z=f(x)在点P(x,y)的梯度的方向与过点的等高线f(x,y)=c在这点的法线的一个多 方向相同,且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线,而梯度的模等于函数在四种 法线方向的方向导数。四种 法线方向日后我方向导数取得最大值的方向。

试探法包括0.618法、Fibonacci法、进退法、平分法等。

假设大伙儿要求f(x)的最小值,首先用泰勒级数求得其二阶近似 

显然除了f(x)二次可微外,还要求f(x)的Hesse矩阵可逆。此外,将会矩阵取逆的计算复杂为 n 的立方,当问題规模比较大时,计算量很大,处置的法律法律依据是采用拟牛顿法,如 BFGS, L-BFGS, DFP, Broyden’s Algorithm 进行近似。

函数在某点的梯度是一个多一个多 向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。

此外,将会初始值离局部极小值太远,泰勒展开从还可以 对原函数进行良好的近似,因为牛顿法将会不收敛。

在日后 迭代下降算法中,具一个多 一同点,日后我得到x(k)后,按四种 规则选者一个多 方向d(k),再从x(k)除法,沿方向d(k)在直线上求目标函数f(x(k)+lambda*d(k))的的极小点,从而得到x(k)的后继点x(k+1),这里求目标函数在直线上的极小点,称为一维搜索,将会线搜索,还可以 还可以 归结为单变量lambda的极小化问題。选者的lambda还可以 还可以 成为步长。

可见,等值面上日后 处的切向量与由此点指向极小点的向量是关于A共轭的

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个多 法律法律依据,它仅需一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又处置了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。

显然, 当f(x) 是一个多 标量函数时,Jacobi矩阵是一个多 向量,即f(x)的梯度,此时Hesse 矩阵是一个多 二维矩阵;当f(x)是一个多 向量值函数时,Jacobi 矩阵是一个多 二维矩阵,Hesse 矩阵是一个多 三维矩阵。

实际上,梯度还还可以 还可以 提供不出最快变化方向的日后 方向上坡度的变化传输强度,即在二维情況下,按照梯度方向倾斜的圆在平面上投影成一个多 椭圆。椭球面的型态受 Hesse 矩阵的条件数影响,椭球面越扁,还可以 还可以 优化路径需要走很大的弯路,计算传输强度很低。这日后我常说的锯齿问題( zig-zagging),将会因为收算法敛传输强度更慢。

从而得到牛顿法的迭代公式 

对于二次函数 

 

其中A为n*n的对称正定矩阵,x-为一定点,则函数f(x)的等值面f(x,y)=c是一个多 以x-为中心的椭球面。